江苏无锡市2019届高三数学一模试题

江苏无锡市2019届高三数学一模试题

江苏省无锡市2019届高三第一次模拟考试

数 学

注意事项：

1. 本试卷共160分，考试时间120分钟．

2. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．

1. 设集合A＝{x|x>0}，B＝{x|－2<x<1}，则A∩B＝________．

2. 设复数z满足(1＋i)z＝1－3i(其中i是虚数单位)，则z的实部为________．

3. 有A，B，C三所学校，学生人数的比例为3∶4∶5，现用分层抽样的方法招募n名志愿者，若在A学校恰好选出9名志愿者，那么n＝________．

 4. 史上常有赛马论英雄的记载，田忌欲与齐王赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为________．

5. 执行如图所示的伪代码，则输出x的值为________．

6. 已知x，y满足约束条件x－y＋1≥0，2x－y≤0，x≥0，则z＝x＋y的取值范围是________．

7. 在四边形ABCD中，已知AB→＝a＋2b，BC→＝－4a－b，CD→＝－5a－3b，其中a，b是不共线的向量，则四边形ABCD的形状是________．

8. 以双曲线x25－y24＝1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程是________．

9. 已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，侧面积为6π，则该圆锥的体积等于________．

10. 设公差不为零的等差数列{an}满足a3＝7，且a1－1，a2－1，a4－1成等比数列，则a10＝________．

11. 已知θ是第四象限角，则cos θ＝45，那么sinθ＋π4cos（2θ－6π）的值为________．

12. 已知直线y＝a(x＋2)(a>0)与函数y＝|cos x|的图象恰有四个公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，其中x1<x2<x3<x4，则x4＋1tan x4＝________．

13. 已知点P在圆M：(x－a)2＋(y－a＋2)2＝1上，A，B为圆C：x2＋(y－4)2＝4上两动点，且AB＝23，则PA→?PB→的最小值是________．

14. 在锐角三角形ABC中，已知2sin2A＋sin2B＝2sin2C，则1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值为________．

二、 解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (本小题满分14分)在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，且m∥n.

(1) 求角C的大小；

(2) 若c＝3，求△ABC周长的取值范围．

16. (本小题满分14分)在四棱锥PABCD中，锐角三角形PAD所在平面垂直于平面PAB，AB⊥AD，AB⊥BC.

(1) 求证：BC∥平面PAD；

(2) 求证：平面PAD⊥平面ABCD.

(第16题)

17. (本小题满分14分)十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售．经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售农户的年纯收入每户平均为3－14x万元．(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)

(1) 至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少抽出多少户从事包装、销售工作？

(2) 至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．

18. (本小题满分16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的离心率为32，且过点3，12，点P在第四象限，A为左顶点，B为上顶点，PA交y轴于点C，PB交x轴于点D.

(1) 求椭圆C的标准方程；

(2) 求△PCD面积的最大值．

(第18题)

19. (本小题满分16分)已知函数f(x)＝ex－a2x2－ax(a>0)．

(1) 当a＝1时，求证：对于任意x>0，都有f(x)>0成立；

(2) 若y＝f(x)恰好在x＝x1和x＝x2两处取得极值，求证：x1＋x22<ln a.

20. (本小题满分16分)设等比数列{an}的公比为q(q>0，q≠1)，前n项和为Sn，且2a1a3＝a4，数列{bn}的前n项和Tn满足2Tn＝n(bn－1)，n∈N*，b2＝1.

(1) 求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2) 是否存在常数t，使得Sn＋12t为等比数列？请说明理由；

(3) 设cn＝1bn＋4，对于任意给定的正整数k(k≥2)，是否存在正整数l，m(k<l<m)，使得ck，cl，cm成等差数列？若存在，求出l，m(用k表示)；若不存在，请说明理由.

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数学附加题

注意事项：

1. 附加题供选修物理的考生使用．

2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．

3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．

说明：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

21. (本小题满分10分)选修4?2：矩阵与变换

设旋转变换矩阵A＝0－11 0，若a b1 2?A＝3 4c d，求ad－bc的值．

22. (本小题满分10分)选修4?4: 坐标系与参数方程

自极点O作射线与直线ρcos θ＝3相交于点M，在OM上取一点P，使OM?OP＝12，若Q为曲线x＝－1＋22t，y＝2＋22t(t为参数)上一点，求PQ的最小值．

23. (本小题满分10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C上的动点M(x，y)(x>0)到点F(2，0)的距离减去M到直线x＝－1的距离等于1.

(1) 求曲线C的方程；

(2) 若直线y＝k(x＋2)与曲线C交于A，B两点，求证：直线FA与直线FB的倾斜角互补．

24. (本小题满分10分)已知数列{an}满足a1＝23，1an－1＝2－an－1an－1－1(n≥2)．

(1) 求数列{an}的通项公式；

(2 )设数列{an}的前n项和为Sn，用数学归纳法证明：Sn<n＋12－ln.

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数学参考答案及评分标准

1. {x|0<x<1} 2. －1 3. 36 4. 13 5. 25

6. [0，3] 7. 梯形 8. y2＝12x 9. 3π 10. 21

11. 5214 12. －2 13. 19－122 14. 132

15. (1) 由m∥n及m＝(a，sin C－sin B)，n＝(b＋c，sin A＋sin B)，

得a(sin A＋sin B)－(b＋c)(sin C－sin B)＝0，(2分)

由正弦定理，得aa2R＋b2R－(b＋c)c2R－b2R＝0，

所以a2＋ab－(c2－b2)＝0，得c2＝a2＋b2＋ab，

由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，

所以ab＝－2abcos C，(5分)

因为ab>0，所以cos C＝－12，

又因为C∈(0，π)，所以C＝2π3.(7分)

(2) 在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C，

所以a2＋b2－2abcos2π3＝9，即(a＋b)2－ab＝9，(9分)

所以ab＝(a＋b)2－9≤a＋b22，所以3（a＋b）24≤9，

即(a＋b)2≤12，所以a＋b≤23，(12分)

又因为a＋b>c，所以6<a＋b＋c≤23＋3，即周长l满足6<l≤3＋23，

所以△ABC周长的取值范围是(6，3＋23]．(14分)

16. (1) 因为AB⊥AD，AB⊥BC，且A，B，C，D共面，

所以AD∥BC.(3分)

(第16题)

因为BC?平面PAD，AD?平面PAD，

所以BC∥平面PAD.(5分)

(2) 如图，过点D作DH⊥PA于点H，

因为△PAD是锐角三角形，所以H与A不重合．(7分)

因为平面PAD⊥平面PAB，平面PAD∩平面PAB＝PA，DH?平面PAD，

所以DH⊥平面PAD.(9分)

因为AB?平面PAB，所以DH⊥AB.(11分)

因为AB⊥AD，AD∩DH＝D，AD，DH?平面PAD，

所以AB⊥平面PAD.

因为AB?平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD.(14分)

17. (1) 由题意得1×1＋x203≥1.6，

因为5x<100－5x，所以x<10且x∈Z.(2分)

因为y＝1＋x203在x∈[1，9]上单调递增，

由数据知，1.153≈1.521<1.6，1.23＝1.728>1.6，

所以x20≥0.2，得x≥4.(5分)

又x＜10且x∈Z，故x＝4，5，6，7，8，9.

答：至少抽取20户从事包装、销售工作．(7分)

(2) 假设该村户均纯收入能达到1.35万元，由题意得，不等式1100[5x3－14x＋1＋x20(100－5x)]≥1.35有正整数解，(8分)

化简整理得3x2－30x＋70≤0，(10分)

所以－153≤x－5≤153.(11分)

因为3<15<4，且x∈Z，所以－1≤x－5≤1，即4≤x≤6. (13分)

答：至2018年底，该村户均纯收入能达到1万3千5百元，此时从事包装、销售的农户数为20户，25户，30户．(14分)

18. (1) 由题意得3a2＋14b2＝1，ca＝32，a2＝b2＋c2，得a2＝4，b2＝1，(4分)

故椭圆C的标准方程为x24＋y2＝1.(5分)

(2) 由题意设lAP：y＝k(x＋2)，－12<k<0，所以C(0，2k)，

由y＝k（x＋2），x24＋y2＝1，消去y得(1＋4k2)x2＋16k2x＋16k2－4＝0，所以xAxP＝16k2－41＋4k2，由xA＝－2得xP＝2－8k21＋4k2，故yP＝k(xP＋2)＝4k1＋4k2，

所以P2－8k21＋4k2，4k1＋4k2，(8分)

设D(x0，0)，因为B(0，1)，P，B，D三点共线，所以kBD＝kPB，故1－x0＝4k1＋4k2－12－8k21＋4k2，解得xD＝2（1＋2k）1－2k，

得D2（1＋2k）1－2k，0，(10分)

所以S△PCD＝S△PAD－S△CAD＝12×AD×|yP－yC|＝122（1＋2k）1－2k＋24k1＋4k2－2k＝4|k（1＋2k）|1＋4k2，(12分)

因为－12<k<0，所以S△PCD＝－8k2－4k1＋4k2＝－2＋2×1－2k1＋4k2，令t＝1－2k，1<t<2，所以2k＝1－t，

所以g(t)＝－2＋2t1＋（1－t）2＝－2＋2tt2－2t＋2＝－2＋2t＋2t－2≤－2＋222－2＝2－1，(14分)

当且仅当t＝2时取等号，此时k＝1－22，所以△PCD面积的最大值为2－1.(16分)

19. (1) 由f(x)＝ex－12x2－x，则f′(x)＝ex－x－1，

令g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝ex－1，(3分)

当x>0时，g′(x)>0，则f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，

故f′(x)>f′(0)＝0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，(5分)

进而f(x)>f(0)＝1>0，即对任意x>0，都有f(x)>0.(6分)

(2) f′(x)＝ex－ax－a，因为x1，x2为f(x)的两个极值点，

所以f′（x1）＝0，f′（x2）＝0，即ex1－ax1－a＝0，ex2－ax2－a＝0.

两式相减，得a＝ex1－ex2x1－x2，(8分)

则所证不等式等价于x1＋x22<lnex1－ex2x1－x2，即ex1＋x22<ex1－ex2x1－x2，(10分)

不妨设x1>x2，两边同时除以ex2可得：ex1－x22<ex1－x2－1x1－x2，(12分)

令t＝x1－x2，t>0，所证不等式只需证明：

et2<et－1t?tet2－et＋1<0.(14分)

设φ(t)＝tet2－et＋1，则φ′(t)＝－et2?et2－t2＋1，因为ex≥x＋1，令x＝t2，

可得et2－t2＋1≥0，所以φ′(t)≤0，所以φ(t)在(0，＋∞)上单调递减，φ(t)<φ(0)＝0，

所以x1＋x22<ln a．(16分)

20. (1) 因为2a1a3＝a4，所以2a1?a1q2＝a1q3，

所以a1＝q2，所以an＝q2qn－1＝12qn.(2分)

因为2Tn＝n(bn－1)，n∈N*，①

所以2Tn＋1＝(n＋1)(bn＋1－1)，n∈N，②

②－①，得2Tn＋1－2Tn＝(n＋1)bn＋1－nbn－(n＋1)＋n，n∈N*，

所以2bn＋1＝(n＋1)bn＋1－nbn－(n＋1)＋n，

所以(n－1)bn＋1＝nbn＋1，n∈N*，③(4分)

所以nbn＋2＝(n＋1)bn＋1＋1，n∈N，④

④－③得nbn＋2－(n－1)bn＋1＝(n＋1)bn＋1－nbn，n∈N*，

所以nbn＋2＋nbn＝2nbn＋1，n∈N*，所以bn＋2＋bn＝2bn＋1，

所以bn＋2－bn＋1＝bn＋1－bn，所以{bn}为等差数列．

因为n＝1时b1＝－1，又b2＝1，

所以公差为2，所以bn＝2n－3.(6分)

(2) 由(1)得Sn＝q2（1－qn）1－q，所以Sn＋12t＝q2（1－qn）1－q＋12t＝qn＋t2（q－1）＋q2（1－q）＋12t，

要使得Sn＋12t为等比数列，则通项必须满足指数型函数，即q2（1－q）＋12t＝0，解得t＝q－1q.(9分)

此时Sn＋1＋12tSn＋12t＝qn＋22（q－1）qn＋12（q－1）＝q，

所以存在t＝q－1q，使得Sn＋12t为等比数列．(10分)

(3) cn＝1bn＋4＝12n＋1，设对于任意给定的正整数k(k≥2)，存在正整数l，m(k<l<m)，使得ck，cl，cm成等差数列，所以2cl＝ck＋cm，所以22l＋1＝12k＋1＋12m＋1.

所以12m＋1＝22l＋1－12k＋1＝4k－2l＋1（2l＋1）（2k＋1）.

所以m＝2kl－k＋2l4k－2l＋1

＝（－4k＋2l－1）（k＋1）＋（2k＋1）24k－2l＋1

＝－k－1＋（2k＋1）24k－2l＋1.

所以m＋k＋1＝（2k＋1）24k－2l＋1.

因为给定正整数k(k≥2)，所以4k－2l＋1能整除(2k＋1)2且4k－2l＋1>0，

所以4k－2l＋1＝1或2k＋1或(2k＋1)2.(14分)

若4k－2l＋1＝1，则l＝2k，m＝4k2＋3k，此时m－l＝4k2＋k>0，满足(k<l<m)；

若4k－2l＋1＝2k＋1，则k＝l，矛盾(舍去)；

若4k－2l＋1＝(2k＋1)2，则l＝2k2，此时m＋k＝0(舍去)．

综上，任意给定的正整数k(k≥2)，存在正整数l＝2k，m＝4k2＋3k，使得ck，cl，cm成等差数列．(16分)

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数学附加题参考答案及评分标准

21. 因为A＝0－110，所以ab120－110＝34cd，得b＝3，－a＝4，2＝c，－1＝d，(6分)

即a＝－4，b＝3，c＝2，d＝－1，(8分)

所以ad－bc＝(－4)×(－1)－2×3＝－2.(10分)

22. 以极点O为直角坐标原点，以极轴为x轴的正半轴，建立直角坐标系，设P(ρ，θ)，M(ρ′，θ)，

因为OM?OP＝12，所以ρρ′＝12.

因为ρ′cos θ＝3，所以12ρcos θ＝3，即ρ＝4cos θ，

(3分)

化为直角坐标方程为x2＋y2－4x＝0，

即(x－2)2＋y2＝4.(5分)

由x＝－1＋22t，y＝2＋22t(t为参数)得普通方程为x－y＋3＝0，(7分)

所以PQ的最小值为圆上的点到直线距离的最小值，

即PQmin＝d－r＝|2－0＋3|2－2＝522－2.(10分)

23. (1) 由题意得（x－2）2＋y2－|x＋1|＝1，(2分)

即（x－2）2＋y2＝|x＋1|＋1.

因为x>0，所以x＋1>0，

所以（x－2）2＋y2＝x＋2，

两边平方，整理得曲线C的方程为y2＝8x.(4分)

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立y2＝8x，y＝kx＋2，

得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，所以x1x2＝4.(6分)

由kFA＋kFB＝y1x1－2＋y2x2－2＝k（x1＋2）x1－2＋k（x2＋2）x2－2

＝k（x1＋2）（x2－2）＋k（x1－2）（x2＋2）（x1－2）（x2－2）

＝2k（x1x2－4）（x1－2）（x2－2）.(8分)

将x1x2＝4代入，得kFA＋kFB＝0，

所以直线FA和直线FB的倾斜角互补．(10分)

24. (1) 因为n≥2，由1an－1＝2－an－1an－1－1，

得1an－1＝1－an－1an－1－1＋1an－1－1，

所以1an－1－1an－1－1＝－1，(1分)

所以1an－1是首项为－3，公差为－1的等差数列，

且1an－1＝－n－2，所以an＝n＋1n＋2.(3分)

(2) 下面用数学归纳法证明：Sn<n－lnn＋32＋12.

①当n＝1时，左边＝S1＝a1＝23，右边＝32－ln 2，

因为e3>16?3ln e>4ln 2?ln 2<34，

32－ln 2>32－34＝34>23，

所以命题成立；(5分)

②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时成立，

即Sk<k－lnk＋32＋12，

则当n＝k＋1，Sk＋1＝Sk＋ak＋1<k－lnk＋32＋12＋k＋2k＋3，

要证Sk＋1<(k＋1)－ln（k＋1）＋32＋12，

只要证k－lnk＋32＋12＋k＋2k＋3<(k＋1)－ln（k＋1）＋32＋12，

只要证lnk＋4k＋3<1k＋3，即证ln1＋1k＋3<1k＋3.(8分)

考查函数F(x)＝ln(1＋x)－x(x>0)，

因为x>0，所以F′(x)＝11＋x－1＝－x1＋x<0，

所以函数F(x)在(0，＋∞)上为减函数，

所以F(x)<F(0)＝0，即ln(1＋x)<x，

所以ln1＋1k＋3<1k＋3，也就是说，当n＝k＋1时命题也成立．

综上所述，Sn<n－lnn＋32＋12.(10分)

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