连续可导怎么证明

　　用反证法。

　　设lim (x趋于a) f'(x) = L，就是要证 L = f'(a)，那么我们先假设L > f'(a)。

　　取L' = (L+f'(a)) / 2 > f'(a)，根据函数极限的定义，对于

　　epsilon = (L-f'(a))/2 > 0，存在一个x的邻域 delta(x)，使得在这个邻域内的任意一个x，都有，

　　| f'(x) - L | < epsilon, 推出 f'(x) > L - epsilon = L'。

　　如果f是在x0处可导的函数，则f一定在x0处连续，特别地，任何可导函数一定在其定义域内每一点都连续。反过来并不一定。事实上，存在一个在其定义域上处处连续函数，但处处不可导。

　　关于函数的可导导数和连续的关系：

　　1、连续的函数不一定可导。

　　2、可导的函数是连续的函数。

　　3、越是高阶可导函数曲线越是光滑。

　　4、存在处处连续但处处不可导的函数。

　　左导数和右导数存在且“相等”，才是函数在该点可导的充要条件，不是左极限=右极限（左右极限都存在）。连续是函数的取值，可导是函数的变化率，当然可导是更高一个层次。

　　函数在某点可导的充要条件是左右导数相等且在该点连续。显然，如果函数在区间内存在“折点”，（如f(x)=|x|的x=0点)则函数在该点不可导。