大一高等数学求极限方法总结

　　2. 倒数法，分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时使用。

　　【例】 lim[x-->1]x/(1-x)

　　解：∵lim[x-->1] (1-x)/x=0 ∴lim[x-->1] x/(1-x)= ∞

　　以后凡遇分母极限为零，分子极限为不等于零的常数时，可直接将其极限写作∞。

　　3. 消去零因子（分解因式）法，分母极限为零，分子极限也为零，且可分解因式时使用。

　　【例】 lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)

　　解：lim[x-->1](x^2-2x+1)/(x^3-x)

　　=lim[x-->1](x-1)^2/[x(x^2-1)

　　=lim[x-->1](x-1)/x

　　=0

　　4. 消去零因子（有理化）法，分母极限为零，分子极限也为零，不可分解，但可有理化时使用。可利用平方差、立方差、立方和进行有理化。

　　【例】lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x

　　解：lim[x-->0][√1+x^2]-1]/x

　　= lim[x-->0][√1+x^2]-1] [√1+x^2]+1]/｛x[√1+x^2]+1]｝

　　= lim[x-->0][ 1+x^2-1] /｛x[√1+x^2]+1]｝

　　= lim[x-->0] x / [√1+x^2]+1]

　　=0

　　5. 零因子替换法。利用第一个重要极限：lim[x-->0]sinx/x=1，分母极限为零，分子极限也为零，不可分解，不可有理化，但出现或可化为sinx/x时使用。常配合利用三角函数公式。

　　【例】lim[x-->0]sinax/sinbx

　　解：lim[x-->0]sinax/sinbx

　　= lim[x-->0]sinax/(ax)*lim[x-->0]bx/sinbx*lim[x-->0]ax/(bx)

　　=1*1*a/b=a/b

　　6. 无穷转换法，分母、分子出现无穷大时使用，常常借用无穷大和无穷小的性质。

　　【例】lim[x-->∞]sinx/x

　　解：∵x-->∞ ∴1/x是无穷小量

　　∵|sinx|<=1, 是有界量 ∴sinx/x=sinx* 1/x是无穷小量

　　从而：lim[x-->∞]sinx/x=0