逆矩阵的转置

　　逆矩阵的性质

　　性质定理

　　可逆矩阵一定是方阵。

　　如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

　　A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

　　可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

　　若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

　　两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

　　矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

　　证明

　　逆矩阵是对方阵定义的，因此逆矩阵一定是方阵。

　　设B与C都为A的逆矩阵，则有B=C

　　假设B和C均是A的逆矩阵，B=BI=B（AC）=（BA）C=IC=C，因此某矩阵的任意两个逆矩阵相等。

　　由逆矩阵的唯一性，A-1的逆矩阵可写作（A-1）-1和A，因此相等。

　　矩阵A可逆，有AA-1=I 。（A-1） TAT=（AA-1）T=IT=I ，AT（A-1）T=（A-1A）T=IT=I

　　由可逆矩阵的定义可知，AT可逆，其逆矩阵为（A-1）T。而（AT）-1也是AT的逆矩阵，由逆矩阵的唯一性，因此（AT）-1=（A-1）T。

　　1）在AB=O两端同时左乘A-1（BA=O同理可证），得A-1（AB）=A-1O=O

　　而B=IB=（AA-1）B=A-1（AB），故B=O

　　2）由AB=AC（BA=CA同理可证），AB-AC=A(B-C)=O，等式两边同左乘A-1，因A可逆AA-1=I 。

　　得B-C=O，即B=C。