可微一定可偏导吗

回答
爱扬教育

2022-04-03

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是的,可微一定可导。但是可导不一定可微。
可导的充要条件:左导数和右导数都存在并且相等。
可微:若函数在某点可微分,则函数在该点必连续;若二元函数在某点可微分,则该函数在该点对x和y的偏导数必存在。
若函数对x和y的偏导数在这点的某一邻域内都存在,且均在这点连续,则该函数在这点可微。

扩展资料

  微分

  早在希腊时期,人类已经开始讨论「无穷」、「极限」以及「无穷分割」等概念。这些都是微积分的中心思想;

  虽然这些讨论从现代的观点看有很多漏洞,有时现代人甚至觉得这些讨论的论证和结论都很荒谬,但无可否认,这些讨论是人类发展微积分的第一步。

  例如公元前五世纪,希腊的德谟克利特(Democritus)提出原子论:他认为宇宙万物是由极细的原子构成。在中国,《庄子.天下篇》中所言的「一尺之捶,日取其半,万世不竭」,亦指零是无穷小量。这些都是最早期人类对无穷、极限等概念的原始的描述。

  其他关于无穷、极限的论述,还包括芝诺(Zeno)几个著名的悖论:

  其中一个悖论说一个人永远都追不上一只乌龟,因为当那人追到乌龟的出发点时,乌龟已经向前爬行了一小段路,当他再追完这一小段,乌龟又已经再向前爬行了一小段路。芝诺说这样一追一赶的永远重覆下去,任何人都总追不上一只最慢的乌龟。

  当然,从现代的观点看,芝诺说的实在荒谬不过;他混淆了「无限」和「无限可分」的概念。人追乌龟经过的那段路纵然无限可分,其长度却是有限的;所以人仍然可以以有限的时间,走完这一段路。

  然而这些荒谬的论述,开启了人类对无穷、极限等概念的探讨,对后世发展微积分有深远的历史意味。

  另外值得一提的是,希腊时代的阿基米德(Archimedes)已经懂得用无穷分割的方法正确地计算一些面积,这跟现代积分的观念已经很相似。

  由此可见,在历史上,积分观念的形成比微分还要早。这跟课程上往往先讨论微分再讨论积分刚刚相反。