线性相关和秩的关系

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爱扬教育

2022-06-17

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设有n个向量a1,a2...,an(都是m维),如果他们线性无关,那么n个向量组成的向量组的秩就是n。
在线性代数里,矢量空间的一组元素中,若没有矢量可用有限个其他矢量的线性组合所表示,则称为线性无关或线性独立,反之称为线性相关。

扩展资料

  在线性代数中,一个矩阵A的列秩是 A的线性无关的纵列的极大数目。类似地,行秩是 A的线性无关的横行的极大数目。矩阵的列秩和行秩总是相等的,因此它们可以简单地称作矩阵 A的秩。通常表示为 rk(A) 或 rank A。

  线性无关和线性相关的性质:

  1、对于任一向量组而言,,不是线性无关的就是线性相关的。

  2、向量组只包含一个向量a时,a为0向量,则说A线性相关; 若a≠0, 则说A线性无关。

  3、包含零向量的任何向量组是线性相关的。

  4、含有相同向量的向量组必线性相关。

  5、增加向量的个数,不改变向量的相关性。(注意,原本的向量组是线性相关的)

  6、减少向量的个数,不改变向量的无关性。(注意,原本的向量组是线性无关的)

  7、一个向量组线性无关,则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

  8、一个向量组线性相关,则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。