z=f(x^2+y^2)的二阶偏导数

　　计算过程如下：

　　z=xf(x^2+y^2)

　　dz=f(x^2+y^2)dx+xf'(x^2+y^2)(2xdx+2ydy)

　　dz=[f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)]dx+2xyf'(x^2+y^2)dy

　　dz/dx=f(x^2+y^2)+2x^2f'(x^2+y^2)

　　d^2z/dxdy=2yf'(x^2+y^2)+2x^2f''(x^2+y^2)2y

　　=2yf'(x^2+y^2)+4x^2yf''(x^2+y^2)

　　当函数 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的两个偏导数 f'x(x0,y0) 与 f'y(x0,y0)都存在时，我们称 f(x,y) 在 (x0,y0)处可导。如果函数 f(x,y) 在域 D 的每一点均可导，那么称函数 f(x,y) 在域 D 可导。此时，对应于域 D 的每一点 (x,y) ，必有一个对 x (对 y )的偏导数，因而在域 D 确定了一个新的二元函数，称为 f(x,y) 对 x (对 y )的偏导函数。简称偏导数。

　　二阶偏导数对函数关于同一个自变量连续求两次导数,即d(dy/dx)/dx，二阶混合偏导数就是对函数先关于其中一个自变量求一次导数。

　　在一元函数中，导数就是函数的变化率。对于二元函数的“变化率”，由于自变量多了一个，情况就要复杂的多。在 xOy 平面内，当动点由 P(x0,y0) 沿不同方向变化时，函数 f(x,y) 的变化快慢一般来说是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 点处沿不同方向的变化率。