正定性的判断方法

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爱扬教育

2022-03-01

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正定性的判断方法:
求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数,则A是正定的;若A的特征值均为负数,则A为负定的;
计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零,则A是正定的;若A的各阶主子式中,奇数阶主子式为负,偶数阶为正,则A为负定的。

扩展资料

  正定矩阵在相合变换下可化为规范型, 即单位矩阵。所有特征值大于零的对称矩阵(或厄米特矩阵)是正定矩阵,其等价条件是:

  1、AA是半正定的;

  2、AA的所有主子式均为非负的;

  3、AA的特征值均为非负的;

  4、存在n阶实矩阵C,使A=C'CC,使A=C′C;

  5、存在秩为r的r×n实矩阵BB,使A=B'BA=B′B。

  正定矩阵有以下性质:

  1、正定矩阵的行列式恒为正;

  2、实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同;

  3、若A是正定矩阵,则A的逆矩阵也是正定矩阵;

  4、两个正定矩阵的和是正定矩阵;

  5、正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。