n次根号下n的极限

　　n次根号n的极限怎么求？

　　以下n^(1/n)表示n的1/n次方,即n的n次算术根。

　　解:当n>1时,显然

　　n^(1/n)-1>0.

　　令n^(1/n)-1=t,则t>0,由二项式定理得

　　n=(1+t)^n

　　=C(n,0)t^0+C(n,1)t^1+C(n,2)t^2+......+C(n,n)t^n

　　>C(n,2)t^2

　　=n(n-1)t^2/2.

　　因此

　　2>(n-1)t^2

　　从而

　　t0,

　　n^(1/n)-1<√2/√(n-1),

　　lim(n→+∞)√2/√(n-1)=0,

　　由数列极限的迫敛性得

　　lim(n→+∞)(n^(1/n)-1)=0

　　即

　　lim(n→+∞)n^(1/n)=1。