连续的定义
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2022-10-05
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扩展资料
函数连续性的定义:
设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义,若
lim(x→x0)f(x)=f(x0),
则称f(x)在点x0处连续。
若函数f(x)在区间I的每一点都连续,则称f(x)在区间I上连续。
举例说明:
所有多项式函数都是连续的。各类初等函数,如指数函数、对数函数、平方根函数与三角函数在它们的定义域上也是连续的函数。
绝对值函数也是连续的。
定义在非零实数上的倒数函数f= 1/x是连续的。但是如果函数的定义域扩张到全体实数,那么无论函数在零点取任何值,扩张后的函数都不是连续的。
非连续函数的一个例子是分段定义的函数。例如定义f为:f(x) = 1如果x> 0,f(x) = 0如果x≤ 0。取ε = 1/2,不存在x=0的δ-邻域使所有f(x)的值在f(0)的ε邻域内。直觉上我们可以将这种不连续点看做函数值的突然跳跃。
另一个不连续函数的例子为符号函数。