矩阵特征向量的详细求法

任意给定一个矩阵A，并不是对所有的x它都能拉长（缩短）。凡是能被A拉长（缩短）的向量称为A的特征向量(Eigenvector)；拉长（缩短）量就为这个特征向量对应的特征值（Eigenvalue）。
值得注意的是，我们说的特征向量是一类向量，因为任意一个特征向量随便乘以一个标量结果肯定也满足以上方程，当然这两个向量都可以看成是同一个特征向量，而且它们也都对应同一个特征值。
如果特征值是负数，那说明了矩阵不但把向量拉长（缩短）了，而且让向量指向了相反的方向。
矩阵的意义上，先介绍几个抽象概念：
1、核：
所有经过变换矩阵后变成了零向量的向量组成的集合，通常用Ker(A)来表示。假如你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，如果你不幸落在了这个矩阵的核里面，那么很遗憾转换后你就变成了虚无的零。
特别指出的是，核是“变换”(Transform)中的概念，矩阵变换中有一个相似的概念叫“零空间”。有的材料在谈到变换的时候使用T来表示，联系到矩阵时才用A，本文把矩阵直接看作“变换”。核所在的空间定义为V空间，也就是全部向量原来在的空间。
2、值域：
某个空间中所有向量经过变换矩阵后形成的向量的集合，通常用R（A）来表示。假设你是一个向量，有一个矩阵要来变换你，这个矩阵的值域表示了你将来可能的位置，你不可能跑到这些位置之外。值域的维度也叫做秩（Rank）。值域所在的空间定义为W空间。W空间中不属于值域的部分等会儿我们会谈到。
3、空间：
向量加上加、乘运算构成了空间。向量可以（也只能）在空间中变换。使用坐标系（基）在空间中描述向量。
不管是核还是值域，它们都是封闭的。意思是如果你和你的朋友困在核里面，你们不管是相加还是相乘都还会在核里面，跑不出去。这就构成了一个子空间。值域同理。