左右导数

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爱扬教育

2022-06-07

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左导数:如果极限lim(x→a-)(f(x)-f(a))/(x-a)存在,就把该极限值称为f(x)在点x=a处的左导数.
右导数的定义类似.

扩展资料

“左右导数相等”不等于“导函数的左右极限相等”,这不是两个很容易混淆的说法。
导数是函数差商的极限。“左右导数”指的是“差商的左右极限”,是在一点上定义的,并没有要求函数在其他点可导。也就是我不关心其他点的可导性。
但导函数的左右极限意味着导函数已经在一个区间内存在,即函数在一个区间内的每个点都可导才行。

举个例子给你:f(x)=(x^2)*sin(1/x) (x不等于0);f(x)=0 这个分段定义的函数,它在 0 点的导数是 0(用定义证),即左右导数是 0。但它的导函数在 0 点不连续,左右极限也不存在。
原则上说,用左右导数来证明导数存在的确需要用定义(即差商的左右极限)。
但为什么可以用求导法则来求左右导数呢?这是因为“导数如果存在,它等于左导数,也等于右导数”。这里并没有任何导函数的概念在里面。例如,如果我希望求 x^2 在 1 的左导数,我可以先用求导法则(求导法则就是差商极限得来的)求得 x^2 在 1 导数是 2,于是就知道左导数是 2。
同理,ax+b 在 1 的右导数等于在 1 的导数 a。所以,就知道 a=1 了。
我希望这样解答了你的疑问,我并没有提导函数的事情,虽然“看起来”很像先求导函数再求导函数的左右极限,这只不过对于这个很光滑的函数,左右导数和导函数的左右极限正好相等罢了。


最后,我想说,左右导数一般是用来证明“导数不存在”的,即如果我要证明函数在某点不可导,只要证明在该点的左导数不等于右导数就是。例如,在证明 |x| 在 0 不可导就是这么证的。我个人觉得左右导数这个概念没有必要,用差商的左右极限替代可能会更清楚一点。