左右导数

“左右导数相等”不等于“导函数的左右极限相等”，这不是两个很容易混淆的说法。
导数是函数差商的极限。“左右导数”指的是“差商的左右极限”，是在一点上定义的，并没有要求函数在其他点可导。也就是我不关心其他点的可导性。
但导函数的左右极限意味着导函数已经在一个区间内存在，即函数在一个区间内的每个点都可导才行。

举个例子给你：f(x)=(x^2)*sin(1/x) (x不等于0)；f(x)=0 这个分段定义的函数，它在 0 点的导数是 0（用定义证），即左右导数是 0。但它的导函数在 0 点不连续，左右极限也不存在。
原则上说，用左右导数来证明导数存在的确需要用定义（即差商的左右极限）。
但为什么可以用求导法则来求左右导数呢？这是因为“导数如果存在，它等于左导数，也等于右导数”。这里并没有任何导函数的概念在里面。例如，如果我希望求 x^2 在 1 的左导数，我可以先用求导法则（求导法则就是差商极限得来的）求得 x^2 在 1 导数是 2，于是就知道左导数是 2。
同理，ax+b 在 1 的右导数等于在 1 的导数 a。所以，就知道 a=1 了。
我希望这样解答了你的疑问，我并没有提导函数的事情，虽然“看起来”很像先求导函数再求导函数的左右极限，这只不过对于这个很光滑的函数，左右导数和导函数的左右极限正好相等罢了。


最后，我想说，左右导数一般是用来证明“导数不存在”的，即如果我要证明函数在某点不可导，只要证明在该点的左导数不等于右导数就是。例如，在证明 |x| 在 0 不可导就是这么证的。我个人觉得左右导数这个概念没有必要，用差商的左右极限替代可能会更清楚一点。